Οι ζυγοί αριθμοί είναι εκείνη πού μπορούν να διαιρεθούν σε δύο ίσα μέρη, χωρίς να αφήσουν τη μονάδα σαν υπόλοιπο.
Οι μονοί αριθμοί, όταν χωριστούν σε δύο ίσα μέρη, αφήνουν και μία μονάδα σαν υπόλοιπο.
Όλοι οι ζυγοί αριθμοί, εκτός από τη δυάδα, το δύο, πού είναι απλώς δύο μονάδες, μπορούν να χωριστούν σε δύο ίσα μέρη καθώς και σε δύο άνισα μέρη, αλλά και στις δύο αυτές περιπτώσεις δεν παρουσιάζονται οι άρτιοι μαζί με τους περιττούς αριθμούς, ή οι περιττοί μαζί με τους άρτιους.
Ο δυαδικός αριθμός δύο δεν μπορεί να χωριστεί σε δύο άνισα μέρη. Έτσι το 10 χωρίζεται σε 5 και 5, πού είναι δύο ίσα μέρη, καθώς και σε 3 και 7, πού είναι περιττοί, και σε 6 και 4, πού είναι άρτιοι αριθμοί. Αλλά ο μονός αριθμός χωρίζεται μόνο σε δύο άνισα μέρη και το ένα μέρος είναι ένας περιττός αριθμός και το άλλο ένας άρτιος αριθμός. Έτσι το 7 χωρίζεται σε 4 και 3, ή σε 5 και 2.
Οι αρχαίοι παρατήρησαν επίσης ότι ή μονάδα είναι «μονός» αριθμός και ότι είναι ο πρώτος «μονός αριθμός», γιατί δεν μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσους αριθμούς. Μία άλλη Ιδιομορφία πού παρατήρησαν ήταν ότι ή μονάδα, προστιθέμενη σε ένα ζυγό αριθμό τον καθιστούσε μονό, αλλά αν οι ζυγοί προσθέτονταν σε ζυγούς αριθμούς μας έδιδαν πάλι ζυγούς αριθμούς.
Ο Αριστοτέλης στην Πυθαγορική πραγματεία του παρατηρεί ότι η μονάδα μετέχει και της φύσης του ζυγού αριθμού, γιατί όταν προστίθεται σε μονό αριθμό μας κάνει ένα ζυγό, και όταν προστίθεται σε ένα ζυγό σχηματίζεται ένας μονός αριθμός. Έτσι ονομάζεται «αρτιόμορφος μονός».
Η Μονάδα είναι ή πρώτη Ιδέα του περιττού αριθμού. Κατά τον ίδιο τρόπο οι Πυθαγόρειοι θεωρούν το «δύο» σαν την «πρώτη Ιδέα της απροσδιόριστης δυάδας» και αποδίδουν τον αριθμό 2 σε κείνη την απροσδιόριστη, άγνωστη και απεριόριστη όψη στον κόσμο, ακριβώς όπως συσχετίζουν τη μονάδα με καθετί πού είναι καθορισμένο και κανονικό. Σημείωσαν ακόμα ότι στη σειρά των αριθμών, πού αρχίζουν από τη μονάδα, οι αριθμοί αυξάνονται κάθε φορά με την προσθήκη μίας μονάδας και έτσι ο λόγος μεταξύ τους μειώνεται. Έτσι το 2 σε σχέση με το 3 είναι 1 ± 1 στο 2, δύο και μία μονάδα, τρία δεύτερα. Το 4 σε σχέση με το 3 είναι 3 και μία μονάδα και ο λόγος είναι τέσσερα τρίτα, τα έξι πέμπτα, 6 προς 5 είναι μικρότερο από τον προηγούμενο, δηλαδή τα πέντε τέταρτα ή 5 προς 4 και το ίδιο συνεχίζεται σε όλη τη σειρά των αριθμών. Επίσης ότι στη φυσική σειρά αριθμών κάθε αριθμός είναι το μισό του αθροίσματος των αριθμών πού τον περιστοιχίζουν. Έτσι το 5 είναι το μισό του 6 συν 4. Επίσης πως το μισό του αθροίσματος του επόμενου ζευγαριού αριθμών, π.χ. το 5 είναι το μισό του 7 συν 3 κι αυτό συνεχίζεται μέχρι πού φτάνουμε στο σημείο όπου ο ένας αριθμός του ζευγαριού να είναι η μονάδα. Η ίδια η μονάδα έχει αριθμό μόνο πάνω απ' αυτή. Έτσι ονομάζεται «πηγή κάθε πλήθους». Η φράση «αρτιόμορφος ζυγός» είναι ένας άλλος όρος που χρησιμοποιούταν στην αρχαιότητα για ένα είδος ζυγών αριθμών. Αυτά πού διαιρούνται σε δύο ίσα μέρη και κάθε ένα απ' αυτά τα μέρη διαιρείται ομοιόμορφα και η ομοιόμορφη διαίρεση συνεχίζεται μέχρι να προκύψει η μονάδα. Ένας τέτοιος αριθμός είναι το 64. Οι αριθμοί αποτελούν μία σειρά, αρχίζοντας από τη μονάδα και σχηματίζοντας κάθε φορά ένα λόγο «δύο» μεταξύ τους, όπως 1, 2, 4, 8, 16, 32. Ο όρος «αρτιόμορφος μονός», αναφερόμενος σε ένα ζυγό αριθμό, όπως 6, 10, 14, 18, που όταν διαιρεθεί σε δύο ίσα μέρη, αυτά τα μέρη δεν μπορούν να διαιρεθούν ξανά σε ίσα μέρη. Μπορεί να σχηματιστεί μία σειρά τέτοιων αριθμών με διπλασιασμό των αριθμών μίας σειράς από μονούς αριθμούς: οι 1, 3, 3, 5, 7, 9, μας δίδουν τους 2, 6, 10, 14, 18.
Οι μη αρτιόμορφοι ζυγοί αριθμοί μπορούν να χωριστούν σε δύο μέρη κι αυτά τα μέρη να χωριστούν ξανά εξίσου. Τέτοιοι αριθμοί είναι το 24 και το 28.
Οι μονοί αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν από τρεις απόψεις, ως εξής:
«Πρώτοι και απλοί». Είναι οι αριθμοί 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, δεν μπορούν να μετρηθούν με άλλους αριθμούς εκτός της μονάδας. Δε συντίθενται από άλλους αριθμούς, αλλά σχηματίζονται μόνο από τη μονάδα.
«Δεύτεροι και σύνθετοι». Είναι στην πραγματικότητα «μονοί», αλλά περιέχουν άλλους αριθμούς και συντίθενται απ' αυτούς. Τέτοιοι είναι οι 9, 15, 21, 25, 27, 33 και 39. Αυτοί περιέχουν μέρη πού κατονομάζονται με έναν άλλο αριθμό, εκτός από τη βασική μονάδα. Έτσι το ένα τρίτο του εννιά είναι το 3, το ένα τρίτο του 15 είναι το 5 και το ένα πέμπτο είναι το 3. Αφού περιέχει έναν άλλο αριθμό ονομάζεται δεύτερος και αφού είναι επιδεκτικός διαίρεσης ονομάζεται σύνθετος.
Η τρίτη ομάδα μονών αριθμών είναι πιο περίπλοκη, αφού οι αριθμοί της είναι δεύτεροι και σύνθετοι, αλλά στη μεταξύ τους σχέση είναι πρώτοι και απλοί. Τέτοιοι είναι το 9 και το 25 και οι δύο διαιρούνται και ο καθένας απ' αυτούς είναι δεύτερος και σύνθετος, αλλά δεν έχουν κοινό μέτρο. Έτσι το 3 που διαιρεί το 9, δε διαιρεί το 25.
Οι ζυγοί αριθμοί έχουν επίσης, διακριθεί από τους αρχαίους σε Τέλειους,Ελλιπείς και Υπεράφθονους.
Υπερτέλειοι
και Υπεράφθονοι είναι αριθμοί όπως οι 12 και 24. Ελλείπεις είναι
αριθμοί όπως το 8 και το 14. Τέλειοι είναι αριθμοί όπως το 6 και το 28
που είναι ίσοι με το άθροισμα των μερών τους. Δηλαδή, το 28, έχει μισό
του το 14, το ένα τέταρτό του είναι το 7, το ένα έβδομό του είναι το 4,
το ένα δέκατο τέταρτό του είναι το 2 και το εικοστό όγδοό του είναι το
1, δηλαδή ποσότητες που προστιθέμενες δίνουν το 28.
Στους Ελλιπείς αριθμούς, όπως είναι το 14, το σύνολο του αριθμού υπερβαίνει τα μέρη του, δηλαδή το ένα έβδομο του 14 είναι το 2, το μισό του είναι το 7 και το ένα δέκατο τέταρτο είναι 1. Το άθροισμά τους είναι 10, δηλαδή λιγότερο από το 14.
Στους Υπεράφθονους αριθμούς, όπως είναι το 12, το άθροισμα των μερών του υπερβαίνει τον ίδιο τον αριθμό. Έτσι το ένα έκτο του 12 είναι το 2, το ένα τέταρτο είναι το 3, το ένα τρίτο είναι το 4, το μισό του είναι το 6 και το ένα δωδέκατο είναι το 1. Το άθροισμά τους είναι 16, δηλαδή μεγαλύτερο από το 12.
Οι Υπερτέλειοι αριθμοί φαίνεται να μοιάζουν με τον γίγαντα Βριάρεω, τα μέρη του είναι πολυάριθμα. Οι Ελλιπείς αριθμοί μοιάζουν με τους Κύκλωπες που είχαν μόνο ένα μάτι, ενώ οι Τέλειοι αριθμοί είχαν την ιδιοσυγκρασία της μετριοπάθειας και αμιλλώνται στην Αρετή.
Ο Βριάρεω είναι παιδί της Γης και του Ουρανού. Είχε εκατό χέρια, πενήντα κεφαλές. Ο Αριστοτέλης λέει πως οι Ηράκλειες Στήλες, καλούνταν Βριάρεω. Όταν ο Ηρακλής καθάρισε τη γη και τη θάλασσα και γινόμενος ευεργέτης των ανθρώπων, για να τον τιμήσουν έδωσαν το όνομά του στις στήλες. Σήμερα, ονομάζεται Γιβραλτάρ. Οι Κύκλωπες είναι αγαθές οντότητες πλην του Πολύφημου. Το όνομα Κύκλωψ, συντίθεται από το «κύκλος» και «ώψ». Η λέξη «κολοφών» δηλώνει την ολοκλήρωση του πράγματος, το έσχατο σημείο των άκρων, το ύψιστο σημείο, την κορωνίδα. Ακόμα σημαίνει το υψηλό ακρωτήριο. Η λέξη επί παθών, δηλαδή στην εφαρμογή της σε ορισμούς που αφορούν γεγονότα, σημαίνει «μεγάλα κακά, συμφορές».
Οι Τέλειοι αριθμοί είναι όπως οι αρετές λίγοι σε αριθμό. Οι άλλες δύο κατηγορίες είναι σαν τα ελαττώματα, που είναι πολυάριθμα, ακανόνιστα και ακαθόριστα.
Ανάμεσα στο 1 και στο 10 υπάρχει μόνο ένας τέλειος αριθμός, δηλαδή το 6 κι ανάμεσα στο 10 και στο 100 υπάρχει πάλι ένας, δηλαδή το 28. Ανάμεσα στο 100 και στο 1000 υπάρχει μόνο ένας, ο 496. Ανάμεσα στο 1000 και στο 10000 υπάρχει επίσης ένας, ο 8128. Οι μονοί αριθμοί ονομάζονται Γνώμονες, γιατί προστιθέμενοι σε τετράγωνα, διατηρούν το ίδιο σχήμα, όπως διαπιστώνουμε στη Γεωμετρία.
Ένας αριθμός πού σχηματίζεται από τον πολλαπλασιασμό ενός μονού και ενός ζυγού αριθμού ονομάζεται Ερμαφρόδιτος ή «αρρενοθήλυς».
Ο Ιαμβλίχος, στην πραγματεία του για την Αριθμητική του Νικόμαχου,δίνει μια διαφορετική άποψη στους αριθμούς. Λέει ότι μερικοί είναι σαν φίλοι, ότι είναι Φίλιοι αριθμοί, όπως το 284 και το 220. Ο Πυθαγόρας ορίζει το φίλο σαν «έτερος εγώ». Τα μέρη λοιπόν, αυτών των αριθμών σχηματίζουν έναν άλλο με τη φύση της φιλίας. Για παράδειγμα το 220 είναι ίσο με το άθροισμα των υποπολλαπλασίων, των ακριβών διαιρετέων του 284. δηλαδή, 1+2+4+71+142=220. Το 284 είναι ίσο με το άθροισμα των υποπολλαπλασίων του 220. Δηλαδή, 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.
Ας δούμε αναλυτικά, τους δύο αριθμοί 220 και 284.
Στους Ελλιπείς αριθμούς, όπως είναι το 14, το σύνολο του αριθμού υπερβαίνει τα μέρη του, δηλαδή το ένα έβδομο του 14 είναι το 2, το μισό του είναι το 7 και το ένα δέκατο τέταρτο είναι 1. Το άθροισμά τους είναι 10, δηλαδή λιγότερο από το 14.
Στους Υπεράφθονους αριθμούς, όπως είναι το 12, το άθροισμα των μερών του υπερβαίνει τον ίδιο τον αριθμό. Έτσι το ένα έκτο του 12 είναι το 2, το ένα τέταρτο είναι το 3, το ένα τρίτο είναι το 4, το μισό του είναι το 6 και το ένα δωδέκατο είναι το 1. Το άθροισμά τους είναι 16, δηλαδή μεγαλύτερο από το 12.
Οι Υπερτέλειοι αριθμοί φαίνεται να μοιάζουν με τον γίγαντα Βριάρεω, τα μέρη του είναι πολυάριθμα. Οι Ελλιπείς αριθμοί μοιάζουν με τους Κύκλωπες που είχαν μόνο ένα μάτι, ενώ οι Τέλειοι αριθμοί είχαν την ιδιοσυγκρασία της μετριοπάθειας και αμιλλώνται στην Αρετή.
Ο Βριάρεω είναι παιδί της Γης και του Ουρανού. Είχε εκατό χέρια, πενήντα κεφαλές. Ο Αριστοτέλης λέει πως οι Ηράκλειες Στήλες, καλούνταν Βριάρεω. Όταν ο Ηρακλής καθάρισε τη γη και τη θάλασσα και γινόμενος ευεργέτης των ανθρώπων, για να τον τιμήσουν έδωσαν το όνομά του στις στήλες. Σήμερα, ονομάζεται Γιβραλτάρ. Οι Κύκλωπες είναι αγαθές οντότητες πλην του Πολύφημου. Το όνομα Κύκλωψ, συντίθεται από το «κύκλος» και «ώψ». Η λέξη «κολοφών» δηλώνει την ολοκλήρωση του πράγματος, το έσχατο σημείο των άκρων, το ύψιστο σημείο, την κορωνίδα. Ακόμα σημαίνει το υψηλό ακρωτήριο. Η λέξη επί παθών, δηλαδή στην εφαρμογή της σε ορισμούς που αφορούν γεγονότα, σημαίνει «μεγάλα κακά, συμφορές».
Οι Τέλειοι αριθμοί είναι όπως οι αρετές λίγοι σε αριθμό. Οι άλλες δύο κατηγορίες είναι σαν τα ελαττώματα, που είναι πολυάριθμα, ακανόνιστα και ακαθόριστα.
Ανάμεσα στο 1 και στο 10 υπάρχει μόνο ένας τέλειος αριθμός, δηλαδή το 6 κι ανάμεσα στο 10 και στο 100 υπάρχει πάλι ένας, δηλαδή το 28. Ανάμεσα στο 100 και στο 1000 υπάρχει μόνο ένας, ο 496. Ανάμεσα στο 1000 και στο 10000 υπάρχει επίσης ένας, ο 8128. Οι μονοί αριθμοί ονομάζονται Γνώμονες, γιατί προστιθέμενοι σε τετράγωνα, διατηρούν το ίδιο σχήμα, όπως διαπιστώνουμε στη Γεωμετρία.
Ένας αριθμός πού σχηματίζεται από τον πολλαπλασιασμό ενός μονού και ενός ζυγού αριθμού ονομάζεται Ερμαφρόδιτος ή «αρρενοθήλυς».
Ο Ιαμβλίχος, στην πραγματεία του για την Αριθμητική του Νικόμαχου,δίνει μια διαφορετική άποψη στους αριθμούς. Λέει ότι μερικοί είναι σαν φίλοι, ότι είναι Φίλιοι αριθμοί, όπως το 284 και το 220. Ο Πυθαγόρας ορίζει το φίλο σαν «έτερος εγώ». Τα μέρη λοιπόν, αυτών των αριθμών σχηματίζουν έναν άλλο με τη φύση της φιλίας. Για παράδειγμα το 220 είναι ίσο με το άθροισμα των υποπολλαπλασίων, των ακριβών διαιρετέων του 284. δηλαδή, 1+2+4+71+142=220. Το 284 είναι ίσο με το άθροισμα των υποπολλαπλασίων του 220. Δηλαδή, 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.
Ας δούμε αναλυτικά, τους δύο αριθμοί 220 και 284.
| Αριθμός | Διαιρετέος | Πηλίκο | Αριθμός | Διαιρετέος | Πηλίκο |
| 220/ | 220 | =1 | 284/ | 284 | =1 |
| 220/ | 2 | =110 | 284/ | 2 | =142 |
| 220/ | 4 | =55 | 284/ | 4 | =71 |
| 220/ | 5 | =44 | 284/ | 71 | =4 |
| 220/ | 10 | =22 | 284/ | 141 | =2 |
| 220/ | 11 | =20 | ----------- | ||
| 220/ | 20 | =11 | + 220 | ||
| 220/ | 22 | =10 | |||
| 220/ | 44 | =5 | |||
| 220/ | 55 | =4 | |||
| 220/ | 110 | =2 | |||
| -------- | |||||
| + 284 |
Ο
Σιμπλίκιος δηλώνει πως οι Πυθαγόρειοι είχαν ορίσει συντόμως την έννοια
της τριάδος με τον ορισμό «καθετί έχει αρχή, μέσον και τέλος. Σε αυτό
ορίζεται ο αριθμός της τριάδος.»
Ακόμα ο ίδιος παρατηρεί πως ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του είχαν ακούσει την Μουσική των Ουρανίων Σφαιρών που προέκυπτε από την κίνηση των σωμάτων και από την αναλογική απόσταση μεταξύ τους, όχι μόνο του Ηλίου, της Σελήνης, της Αφροδίτης και του Ερμή, αλλά και των άλλων αστέρων (πλανήτες). Ο Σιμπλίκιος τονίζει πως ο Αριστοτέλης διαφωνεί, αλλά η δυσκολία μπορεί να ξεπεραστεί:
Σ' αυτή την σφαίρα κάτω της Σελήνης όλα τα πράγματα δεν είναι ασύμμετρα, ούτε καθετί γίνεται όμοια αισθητό σε κάθε σώμα. Τα σκυλιά μπορούν να μυρίσουν και να αναγνωρίσουν την παρουσία των ζώων που μπορεί να βρίσκονται σε μεγάλη απόσταση, τη στιγμή που ο άνθρωπος έχει πλήρη άγνοια της ύπαρξής τους. Και ακόμα, πως μερικοί από τους αρχαίους πίστευαν ότι η ψυχή έχει τρεις φορείς, το γήινο σώμα, ένα αεριώδες σώμα, όπου τιμωρείται και ένα αιθέριο σώμα, φωτεινό και ουράνιο όπου διαμένει η ψυχή όταν βρίσκεται σε κατάσταση μακαριότητας. Αυτό ακριβώς το σώμα, με εξαγνίσει των αισθήσεων, με κληρονομική μαγική δύναμη, με χρηστότητα, ή με θρησκευτικές τελετουργίες καθιέρωσης, μπορεί να αντιληφθεί, αφού παραμερίσει το γήινο σώμα, πράγματα ακατάληπτα σε μας και να ακούσει ήχους ανήκουστους σε μας που είμαστε σε δεσμά. Ένας διορατικός μπορεί να δει γεγονότα αδιόρατα για τους απλούς θνητούς, ενώ την ίδια στιγμή να είναι αδύναμος στο άκουσμα των υπβερβατικών ήχων, όπως όλους τους απλούς θνητούς. Κι αυτό γιατί βλέπουμε τους αστέρες, ενώ δεν ακούμε την κίνησή τους. Ίσως, γιατί οι Θεοί δεν κατεβαίνουν πολύ συχνά από τα Βασίλεια της Δόξας τους για να επισκεφθούν τη Γη, όπως τους παλιούς καιρούς, ίσως, γιατί ο Ουρανός είναι πιο μακρινός ή η Γη είναι πιο παγωμένη ...;.
Ο Πλούταρχος, στο «Περί Ίσιδος και Οσίριδος»αναφέρει πως:
« ...; ...;..οι Πυθαγόρειοι πάλι κόσμησαν τους αριθμούς και τα σχήματα με ονόματα Θεών. Για παράδειγμα το ισόπλευρο τρίγωνο το ονόμαζαν Αθηνά κορυφογέννητη και τριτογένεια, γιατί διαιρείται με τρεις κάθετες γραμμές που φέρονται από τις τρεις γωνίες. Και τον αριθμό ένα τον έλεγαν Απόλλωνα, λόγω αποκήρυξης του πλήθους και απλότητας της μονάδας. Τη δυάδα την έλεγαν έριδα και τόλμη και την τριάδα δικαιοσύνη. Γιατί καθώς το να αδικεί κανείς και να αδικείται είναι έλλειψη και υπερβολή αντίστοιχα, το δίκαιο βρίσκεται στη μέση με την ισότητα. Και η καλούμενη Τετρακτύς, το τριανταέξι δηλαδή, ήταν ο πιο μεγάλος όρκος κατά την παράδοση και έχει ονομαστεί κόσμος που αποτελείται από τους πρώτους τέσσερις άρτιους αριθμούς και τους πρώτους τέσσερις περιττούς αριθμούς με πρόσθεσή τους. Ο Πυθαγόρας προτείνει με μεγάλη προσοχή τη μελέτη της φύσης, καθότι ήταν Μέγας Μύστης και Αρχιερέας, για να μην γίνονται λανθασμένες εκτιμήσεις, μια και τα στοιχεία και οι αριθμοί στην απόλυτη φύση τους είναι ουδέτεροι και το έργο τους παράγεται στην κίνησή τους.
Στον Ιάμβλιχο, στα «Τα θεολογούμενα της αριθμητικής» στην ενότητα περί μονάδος, διαβάζομε «Συναριθμηθέν γάρ τό μονάς όνομα τξα' αποδίδωσιν, άπερ ζωδιακού κύκλου μοίραι εισίν». Που σημαίνει αν τα γράμματα της λέξης «μονάς» υπολογιστούν ως αριθμοί και προστεθούν δίνουν άθροισμα 361, ήτοι τον αριθμό των μοιρών του ζωδιακού κύκλου. Παρατηρήστε πως το 361 είναι το τέλειο τετράγωνο του 19, με γράμμα τξα. Αν στην λέξη μονάς προσθέσομε το άρθρο, δηλαδή «η μονάς» ο αριθμός είναι 369, η πλευρά του κανονικού εννεαγώνου στης Σελήνης!!!
Στην ενότητα περί εξάδος, λέει «η συναρίθμηση του κόσμου ονόματος εξακόσια εστίν.», δηλαδή το άθροισμα των αριθμών της λέξης «κόσμος» είναι εξακόσια, όπου το γράμμα Χ. Ακόμα, για τη δεκάδα λέει, «Έτι η δεκάς αριθμόν γεννά το ε΄ και το ν΄ θαυμαστά περιέχοντα κάλλη. Έτι εάν ψηφίσης τό έν γράμμασιν, ευρίσεις κατά σύνθεσιν τόν νε'». Αυτό ερμηνεύεται: ακόμη η δεκάς γεννά τον 55, όστις περιέχει θαυμαστά κάλλη. Αν δε υπολογίσεις τα ψηφία της λέξης «εν» εις αριθμούς ευρίσκεις άθροισμα 55.
Άρα, οι λέξεις της αρχαίας γλώσσας υπολογίζονταν και ως αριθμοί και οι αριθμοί αντίστροφα αντιπροσώπευαν λέξεις. Από τις συγγραφές του Ιαμβλίχου δεν γνωρίζομε αν ήταν γνωστό στον ίδιο ότι και τα ονόματα των αρχαίων Θεών ήταν Μαθηματικοί αριθμοί. Ίσως, να μην γνώριζε ή δεν έγραψε, πως και στον Όμηρο υπήρχαν Κωδικοί Αριθμοί και αναφέρεται μόνο στον Πυθαγόρα.
Αν κάποιος ερευνήσει με προσοχή τα αρχαία κείμενα, ιδίως του Αριστοτέλη, των Πυθαγορείων, του Στράβωνα, του Παυσανία, του Ήρωνα του Αλεξανδρέως, του Πλάτωνα και του Ιάμβλιχο, χωρίς να αγνοήσει τους κλασικούς αστρονόμους-αστρολόγους της εποχής, θα καταλήξει στο συμπέρασμα, πως τα στοιχεία (γράμματα) και οι αριθμοί παρήγαγαν, δημιούργησαν, εξέλιξαν και επηρέασαν σταθερά και βαθιά την πορεία του Ανθρώπου, σε πνευματικό και υλικό επίπεδο.
Όσον αφορά το Πυθαγόρειο θεώρημα, λέγεται πως σύμφωνα με τον θρύλο, όταν ο Πυθαγόρας ανακάλυψε το εν λόγω θεώρημα έσφαξε εκατό βόδια (εκατόμβη) για να ευχαριστήσει τους θεούς (Διογένης Λαέρτιος, Βίοι Φιλοσόφων VII 12).
Το
Πυθαγόρειο θεώρημα υποστηρίζει: Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός
ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο
άλλων πλευρών. Δηλαδή σε ένα ασύμμετρο (σκαληνό) ορθογώνιο τρίγωνο, με
βάση 3, πλευρά 4 και υποτείνουσα 5, είναι: 52 =42+32. Οι πλευρές έχουν αναλογία 3:4:5.
Κατά τον τρόπο αυτό λοιπόν, οι αριθμοί, που αρχικά φαίνονται άνισοι μεταξύ τους, αποκτούν σχέση μέσα από τις αρμονικές τους συνάφειες. Όταν δηλαδή οι γραμμές που έχουν αυτήν την αναλογία μεταξύ τους χρησιμοποιηθούν μαζί, έχοντας ως βάση ότι οι γραμμές με 4 και 3 μέρη σχηματίζουν ορθή γωνία, τότε η τρίτη γραμμή που ενώνει τα δύο ελεύθερα άκρα των δύο πρώτων είναι πέντε μερών, επιτυγχάνοντας έτσι είτε αναλογική είτε γεωμετρική σχέση με τις άλλες δύο.
Σύμφωνα με τον Φιλόλαο, όπως μας λέει ο Στοβαίος, όλα πράγματα που γνωρίζουμε έχουν αριθμό, επειδή χωρίς αυτόν δεν μπορούμε ούτε να διανοηθούμε ούτε να γνωρίσουμε κάτι. Ο κάθε αριθμός μάλιστα έχει δύο χαρακτηριστικά, το περιττό και το άρτιο, ενώ υπάρχει και ένα τρίτο είδος, ο "αρτιοπέριττος", που προκύπτει από την ανάμειξη των δύο, πράγμα που τόσο ο Αριστοτέλης στα Μετά τα φυσικά (Α 5, 985β23) όσο και ο Αλέξανδρος ο Αφροδισιέας (Σχόλια εις Άριστοτέλους Μετά τά φυσικά 1, 40, 12, σελ 66) το επιβεβαιώνουν. Ο Αλέξανδρος ο Αφροδισιέας μάλιστα κάνει αναφορά και σε άλλα σχετικά κείμενα του Αριστοτέλη, όπως στο Περί Ουρανού (Β 13, 293α18) και στα χαμένα συγγράμματα για τους Πυθαγορείους (Αλεξάνδρου Αφροδισιέως Σχόλια είς Αριστοτέλους Μετά τά φυσικά 1, 41, 1-16).
Ακόμα ο ίδιος παρατηρεί πως ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του είχαν ακούσει την Μουσική των Ουρανίων Σφαιρών που προέκυπτε από την κίνηση των σωμάτων και από την αναλογική απόσταση μεταξύ τους, όχι μόνο του Ηλίου, της Σελήνης, της Αφροδίτης και του Ερμή, αλλά και των άλλων αστέρων (πλανήτες). Ο Σιμπλίκιος τονίζει πως ο Αριστοτέλης διαφωνεί, αλλά η δυσκολία μπορεί να ξεπεραστεί:
Σ' αυτή την σφαίρα κάτω της Σελήνης όλα τα πράγματα δεν είναι ασύμμετρα, ούτε καθετί γίνεται όμοια αισθητό σε κάθε σώμα. Τα σκυλιά μπορούν να μυρίσουν και να αναγνωρίσουν την παρουσία των ζώων που μπορεί να βρίσκονται σε μεγάλη απόσταση, τη στιγμή που ο άνθρωπος έχει πλήρη άγνοια της ύπαρξής τους. Και ακόμα, πως μερικοί από τους αρχαίους πίστευαν ότι η ψυχή έχει τρεις φορείς, το γήινο σώμα, ένα αεριώδες σώμα, όπου τιμωρείται και ένα αιθέριο σώμα, φωτεινό και ουράνιο όπου διαμένει η ψυχή όταν βρίσκεται σε κατάσταση μακαριότητας. Αυτό ακριβώς το σώμα, με εξαγνίσει των αισθήσεων, με κληρονομική μαγική δύναμη, με χρηστότητα, ή με θρησκευτικές τελετουργίες καθιέρωσης, μπορεί να αντιληφθεί, αφού παραμερίσει το γήινο σώμα, πράγματα ακατάληπτα σε μας και να ακούσει ήχους ανήκουστους σε μας που είμαστε σε δεσμά. Ένας διορατικός μπορεί να δει γεγονότα αδιόρατα για τους απλούς θνητούς, ενώ την ίδια στιγμή να είναι αδύναμος στο άκουσμα των υπβερβατικών ήχων, όπως όλους τους απλούς θνητούς. Κι αυτό γιατί βλέπουμε τους αστέρες, ενώ δεν ακούμε την κίνησή τους. Ίσως, γιατί οι Θεοί δεν κατεβαίνουν πολύ συχνά από τα Βασίλεια της Δόξας τους για να επισκεφθούν τη Γη, όπως τους παλιούς καιρούς, ίσως, γιατί ο Ουρανός είναι πιο μακρινός ή η Γη είναι πιο παγωμένη ...;.
Ο Πλούταρχος, στο «Περί Ίσιδος και Οσίριδος»αναφέρει πως:
« ...; ...;..οι Πυθαγόρειοι πάλι κόσμησαν τους αριθμούς και τα σχήματα με ονόματα Θεών. Για παράδειγμα το ισόπλευρο τρίγωνο το ονόμαζαν Αθηνά κορυφογέννητη και τριτογένεια, γιατί διαιρείται με τρεις κάθετες γραμμές που φέρονται από τις τρεις γωνίες. Και τον αριθμό ένα τον έλεγαν Απόλλωνα, λόγω αποκήρυξης του πλήθους και απλότητας της μονάδας. Τη δυάδα την έλεγαν έριδα και τόλμη και την τριάδα δικαιοσύνη. Γιατί καθώς το να αδικεί κανείς και να αδικείται είναι έλλειψη και υπερβολή αντίστοιχα, το δίκαιο βρίσκεται στη μέση με την ισότητα. Και η καλούμενη Τετρακτύς, το τριανταέξι δηλαδή, ήταν ο πιο μεγάλος όρκος κατά την παράδοση και έχει ονομαστεί κόσμος που αποτελείται από τους πρώτους τέσσερις άρτιους αριθμούς και τους πρώτους τέσσερις περιττούς αριθμούς με πρόσθεσή τους. Ο Πυθαγόρας προτείνει με μεγάλη προσοχή τη μελέτη της φύσης, καθότι ήταν Μέγας Μύστης και Αρχιερέας, για να μην γίνονται λανθασμένες εκτιμήσεις, μια και τα στοιχεία και οι αριθμοί στην απόλυτη φύση τους είναι ουδέτεροι και το έργο τους παράγεται στην κίνησή τους.
Στον Ιάμβλιχο, στα «Τα θεολογούμενα της αριθμητικής» στην ενότητα περί μονάδος, διαβάζομε «Συναριθμηθέν γάρ τό μονάς όνομα τξα' αποδίδωσιν, άπερ ζωδιακού κύκλου μοίραι εισίν». Που σημαίνει αν τα γράμματα της λέξης «μονάς» υπολογιστούν ως αριθμοί και προστεθούν δίνουν άθροισμα 361, ήτοι τον αριθμό των μοιρών του ζωδιακού κύκλου. Παρατηρήστε πως το 361 είναι το τέλειο τετράγωνο του 19, με γράμμα τξα. Αν στην λέξη μονάς προσθέσομε το άρθρο, δηλαδή «η μονάς» ο αριθμός είναι 369, η πλευρά του κανονικού εννεαγώνου στης Σελήνης!!!
Στην ενότητα περί εξάδος, λέει «η συναρίθμηση του κόσμου ονόματος εξακόσια εστίν.», δηλαδή το άθροισμα των αριθμών της λέξης «κόσμος» είναι εξακόσια, όπου το γράμμα Χ. Ακόμα, για τη δεκάδα λέει, «Έτι η δεκάς αριθμόν γεννά το ε΄ και το ν΄ θαυμαστά περιέχοντα κάλλη. Έτι εάν ψηφίσης τό έν γράμμασιν, ευρίσεις κατά σύνθεσιν τόν νε'». Αυτό ερμηνεύεται: ακόμη η δεκάς γεννά τον 55, όστις περιέχει θαυμαστά κάλλη. Αν δε υπολογίσεις τα ψηφία της λέξης «εν» εις αριθμούς ευρίσκεις άθροισμα 55.
Άρα, οι λέξεις της αρχαίας γλώσσας υπολογίζονταν και ως αριθμοί και οι αριθμοί αντίστροφα αντιπροσώπευαν λέξεις. Από τις συγγραφές του Ιαμβλίχου δεν γνωρίζομε αν ήταν γνωστό στον ίδιο ότι και τα ονόματα των αρχαίων Θεών ήταν Μαθηματικοί αριθμοί. Ίσως, να μην γνώριζε ή δεν έγραψε, πως και στον Όμηρο υπήρχαν Κωδικοί Αριθμοί και αναφέρεται μόνο στον Πυθαγόρα.
Αν κάποιος ερευνήσει με προσοχή τα αρχαία κείμενα, ιδίως του Αριστοτέλη, των Πυθαγορείων, του Στράβωνα, του Παυσανία, του Ήρωνα του Αλεξανδρέως, του Πλάτωνα και του Ιάμβλιχο, χωρίς να αγνοήσει τους κλασικούς αστρονόμους-αστρολόγους της εποχής, θα καταλήξει στο συμπέρασμα, πως τα στοιχεία (γράμματα) και οι αριθμοί παρήγαγαν, δημιούργησαν, εξέλιξαν και επηρέασαν σταθερά και βαθιά την πορεία του Ανθρώπου, σε πνευματικό και υλικό επίπεδο.
Όσον αφορά το Πυθαγόρειο θεώρημα, λέγεται πως σύμφωνα με τον θρύλο, όταν ο Πυθαγόρας ανακάλυψε το εν λόγω θεώρημα έσφαξε εκατό βόδια (εκατόμβη) για να ευχαριστήσει τους θεούς (Διογένης Λαέρτιος, Βίοι Φιλοσόφων VII 12).
Το
Πυθαγόρειο θεώρημα υποστηρίζει: Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός
ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο
άλλων πλευρών. Δηλαδή σε ένα ασύμμετρο (σκαληνό) ορθογώνιο τρίγωνο, με
βάση 3, πλευρά 4 και υποτείνουσα 5, είναι: 52 =42+32. Οι πλευρές έχουν αναλογία 3:4:5.Κατά τον τρόπο αυτό λοιπόν, οι αριθμοί, που αρχικά φαίνονται άνισοι μεταξύ τους, αποκτούν σχέση μέσα από τις αρμονικές τους συνάφειες. Όταν δηλαδή οι γραμμές που έχουν αυτήν την αναλογία μεταξύ τους χρησιμοποιηθούν μαζί, έχοντας ως βάση ότι οι γραμμές με 4 και 3 μέρη σχηματίζουν ορθή γωνία, τότε η τρίτη γραμμή που ενώνει τα δύο ελεύθερα άκρα των δύο πρώτων είναι πέντε μερών, επιτυγχάνοντας έτσι είτε αναλογική είτε γεωμετρική σχέση με τις άλλες δύο.
Σύμφωνα με τον Φιλόλαο, όπως μας λέει ο Στοβαίος, όλα πράγματα που γνωρίζουμε έχουν αριθμό, επειδή χωρίς αυτόν δεν μπορούμε ούτε να διανοηθούμε ούτε να γνωρίσουμε κάτι. Ο κάθε αριθμός μάλιστα έχει δύο χαρακτηριστικά, το περιττό και το άρτιο, ενώ υπάρχει και ένα τρίτο είδος, ο "αρτιοπέριττος", που προκύπτει από την ανάμειξη των δύο, πράγμα που τόσο ο Αριστοτέλης στα Μετά τα φυσικά (Α 5, 985β23) όσο και ο Αλέξανδρος ο Αφροδισιέας (Σχόλια εις Άριστοτέλους Μετά τά φυσικά 1, 40, 12, σελ 66) το επιβεβαιώνουν. Ο Αλέξανδρος ο Αφροδισιέας μάλιστα κάνει αναφορά και σε άλλα σχετικά κείμενα του Αριστοτέλη, όπως στο Περί Ουρανού (Β 13, 293α18) και στα χαμένα συγγράμματα για τους Πυθαγορείους (Αλεξάνδρου Αφροδισιέως Σχόλια είς Αριστοτέλους Μετά τά φυσικά 1, 41, 1-16).
